四位数字黑洞6174

把一个四位数的四个数字由小至大排列,组成一个新数,又由大至小排列排列组成一个新数,这两个数相减,之后重复这个步骤,只要四位数的四个数字不重复,数字最终便会变成 6174。
例如 3109,9310 - 0139 = 9171,9711 - 1179 = 8532,8532 - 2358 = 6174。而 6174 这个数也会变成 6174,7641 - 1467 = 6174。
任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数;按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174;如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过7步就必然得到6174。
如取四位数5679,按以上方法作运算如下:
9765-5679==4086,8640-0468=8172,
8721-1278=7443, 7443-3447=3996,
9963-3699=6264, 6642-2466=4176
7641-1467=6174
那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢?
设M是一个四位数而且四个数字不全相同,把M的数字按递减的次序排列,
记作M(减);
然后再把M中的数字按递增次序排列,记作M增,记差M(减)-M(增)=D1,从M到D1是经过上述步骤得来的,我们把它看作一种变换,从M变换到D1记作:T(M)= D1把D1视作M一样,按上述法则做减法得到D2 ,也可看作是一种变换,把D1变换成D2,
记作:T(D1)= D2
同样D2可以变换为D3;D3变换为D4……,既T(D2)= D3,T(D3)= D4……
要证明,至多是重复7次变换就得D7=6174。
证明
证:四位数总共有9999-999=9000个,其中除去四个数字全相同的,余下9000-9=8991个数字不全相同.我们首先证明,变换T把这8991个数只变换成54个不同的四位数.
设a、b、c、d是M的数字,并:
a≥b≥c≥d
因为它们不全相等,上式中的等号不能同时成立.我们计算T(M)
M(减)=1000a+100b+10c+d
M(增)=1000d+100c+10b+a
T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c)
我们注意到T(M)仅依赖于(a-d)与(b-c),因为数字a,b,c,d不全相等,因此由a≥b≥c≥d可推出;a-d>0而b-c≥0.
此外b、c在a与d之间,所以a-d≥b-c,这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值,并且如果它取这个集合的某个值n,b-c只能取小于n的值,至多取n.
例如,若a-d=1,则b-c只能在0与1中选到,在这种情况下,T(M)只能取值:
999×⑴+90×(0)=0999
999×⑴+90×⑴=1089
类似地,若a-d=2,T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值.把a-d=1,a-d=2,…,a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来,我们就得到2+3+4+…+10=54
这就是T(M)所可能取的值的个数.在54个可能值中,又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值,这些数值再变换T(M)中都对应相同的值(数学上称这两个数等价),剔除等价的因数,在T(M)的54个可能值中,只有30个是不等价的,它们是:
9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,
8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,6444,5553,5544.
对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数.证毕.
推广
一、任意N位数都会类似4位数那样归敛(1、2位数无意义) . 3位数归敛到唯一一个数495; 4位数归敛到唯一一个数6174; 7位数归敛到唯一一个数组(8个7位数组成的循环数组______称归敛组);其它每个位数的数归敛结果分别有若干个,归敛数和归敛组兼而有之(如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数,21个归敛组). 以上提到的所有归敛结果(包括一个数字、一个数组或兼有)称为“卡普雷卡尔常数”.
“卡普雷卡尔常数”中的所有的数都是模9数(即都能被9整除以及其全部数字之和也是9的倍数!)
一旦进入归敛结果,继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环,再也“逃”不出去。
归敛组中各数可以按递进顺序交换位置 (如a → b → c 或 b → c → a 或c → a → b)
归敛结果可以不经过卡普雷卡尔运算就能从得出.
某个既定位数的数,它的归敛结果的个数是有限的,也是确定的.
二、较多位数的数(命它为N)的归敛结果是由较少位数的数(命它为n,N>n)的归敛结果,嵌加进去一些特定的数或数组而派生形成。4、6、8、9、11、13的归敛结果中的8个称基础数根.它们是派生所有任意N位数的归敛结果的基础。
1、嵌加的数分三类.
第一类是数对型,有两对:
1) 9,0
2) 3,6
第二类是数组型,有一组:
1) 7,2
2) 5,4
3) 1,8
第三类是数字型,有两个:
1) 5 9 4
2) 8 6 4 2 9 7 5 3 1
2、嵌入数的一部分嵌入前段中大于或等于嵌入数的最末一个数字的后邻位置。另一部分嵌入后段相应位置_____使与嵌入前段的数形成层状组数结构。
594只能嵌入n=3+3К 这类数。如9、12、15、18…….位.
3、(9,0)、(3,6)两对数可以单独嵌入或与数组型、数字型组合嵌入。
数组
7,2
5,4
1,8
必须“配套”嵌入并按顺序: (7,2)→(5,4)→(1,8)或 (5,4)→(1,8)→(7,2)
或 (1,8) →(7,2)→(5,4)。
4,可以嵌如一次、二次或若干次 (则形成更多位数的归敛结果).
任意N位数的归敛结果都 “隐藏”在这N位数中,卡普雷卡尔运算只是找出它们而不是新造成它们。
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